최단 경로 알고리즘 (Shortest Path Algorithm)

 

가장 빠르게 도달하는 방법

- '한 지점에서 다른 특정 지점까지의 최단 경로를 구해야 하는 경우'

- '모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 모두 구해야 하는 경우'

- 최단 경로 문제는 보통 그래프를 이용해 표현

    ㄴ 각 지점은 그래프에서 '노드'로 표현되고,

    ㄴ 지점 간 연결된 도로는 그래프에서 '간선'으로 표현된다.

 

다익스트라 최단 경로 알고리즘

- 그래프에서 여러 개의 노드가 있을 때, 특정한 노드에서 출발하여 다른 노드로 가는 각각의 최단 경로를 구해주는 알고리즘

- '음의 간선'이 없을 때 정상적으로 동작

- 매번 '가장 비용이 적은 노드'를 선택해서 임의의 과정을 반복하기 때문에 기본적으로 그리디 알고리즘으로 분류

- 알고리즘

    1) 출발 노드 설정

    2) 최단 거리 테이블 초기화

    3) 방문하지 않은 노드 중 최단 거리가 가장 짧은 노드 선택

    4) 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블 갱신

    5) 위 과정에서 3번과 4번을 반복

방법1) 간단한 다익스트라 알고리즘 (구현하기 쉽지만 느리게 동작)

- 처음에 각 노드에 대한 최단 거리를 담는 1차원 리스트 선언

- 단계마다 '방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택'하기 위해

   매 단계마다 1차원 리스트의 모든 원소를 확인(순차탐색)

- 시간복잡도 O(V^2) (V는 노드의 개수)

# 최단 경로 알고리즘
# 간단한 다익스트라 알고리즘 코드

import sys
input = sys.stdin.readline # 데이터의 수가 많다는 가정하에 사용
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트 만들기
graph = [[] for i in range(n+1)]
# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트 만들기
visited = [False] * (n+1)
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n+1)

# 모든 간선 정보 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c
    graph[a].append((b, c))

# 방문하지 않은 노드 중에서 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호 반환
def get_smallest_node():
    min_value = INF
    index = 0 # 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
    for i in range(1, n+1):
        if distance[i] < min_value and not visited[i]:
            min_value = distance[i]
            index = i
    return index

def dijkstra(start):
    # 시작 노드에 대해서 초기화
    distance[start] = 0
    visited[start] = True
    for j in graph[start]:
        distance[j[0]] = j[1]
    # 시작 노드를 제외한 전체 n-1개의 노드에 대한 반복
    for i in range(n-1):
        # 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서 방문 처리
        now = get_smallest_node()
        visited[now] = True
        # 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
        for j in graph[now]:
            cost = distance[now] + j[1]
            # 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[j[0]]:
                distance[j[0]] = cost

# 다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n+1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    # 도달할 수 있는 경우, 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])

방법2) 개선된 다익스트라 알고리즘 (구현하기 어렵지만 빠르게 동작)

- 힙 자료구조 사용 -> 특정 노드까지의 최단 거리에 대한 정보를 힙에 담아서 처리

    ㄴ 힙: 우선순위 큐를 구현하기 위해 사용 - 우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제

    ㄴ 파이썬에서 PriorityQueue, heapq 사용 가능 (일반적으로 heapq가 더 빠르게 동작)

    ㄴ 우선순위 큐 구현방식 - 리스트, 힙

    ㄴ 리스트 삽입시간 O(1), 삭제시간 O(N)

    ㄴ 힙 삽입시간 O(logN), 삭제시간 O(logN)

    ㄴ 현재 가장 가까운 노드를 저장하기 위한 목적으로만 우선순위 큐를 추가로 이용

- 시간복잡도 O(ElogV) (V는 노드의 개수, E는 간선의 개수)

- 앞의 코드와 비교했을 때, get_smallest_node()라는 함수를 작성할 필요가 없다는 특징이 있다.

- '최단 거리가 가장 짧은 노드'를 선택하는 과정을 다익스트라 최단 경로 함수 안에서 우선순위 큐를 이용하는 방식으로 대체할 수 있기 때문이다.

# 최단 경로 알고리즘
# 개선된 다익스트라 알고리즘 코드

import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9)

# 노드의 개수, 간선의 개수 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트 만들기
graph = [[] for i in range(n+1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n+1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c
    graph[a].append((b, c))

def dijkstra(start):
    q = []
    # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여 큐에 삽입
    heapq.heappush(q, (0, start))
    distance[start] = 0
    while q: # 큐가 비어있지 않다면
        # 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        dist, now = heapq.heappop(q)
        # 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
        if distance[now] < dist:
            continue
        # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]
            # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))

# 다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리 출력
for i in range(1, n+1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    # 도달할 수 있는 경우, 거리 출력
    else:
        print(distance[i])

 

플로이드 워셜 알고리즘

- 모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 모두 구해야 하는 경우

- 단계마다 '거쳐 가는 노드'를 기준으로 알고리즘을 수행한다. 하지만 매번 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리를 갖는 노드를 찾을 필요가 없다.

- 시간복잡도 O(N^3)

    ㄴ 노드의 개수가 N개 일 때, N번의 단계를 수행 O(N)

    ㄴ 모든 노드에 대하여 다른 모든 노드로 가는 최단 거리 정보를 담기 위해 2차원 리스트를 처리 O(N^2)

# 최단 경로 알고리즘
# 플로이드 워셜 알코리즘 코드

INF = int(1e9)

# 노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
n = int(input())
m = int(input())
# 2차원 리스트(그래프 표현)를 만들고, 모든 값을 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n+1) for _ in range(n+1)]

# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n+1):
    for b in range(1, n+1):
        if a == b:
            graph[a][b] = 0

# 각 간선에 대한 정보를 입력받아 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
    # a에서 b로 가는 비용은 c로 설정
    a, b, c = map(int, input().split())
    graph[a][b] = c

# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n+1):
    for a in range(1, n+1):
        for b in range(1, n+1):
            graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])

# 수행된 결과를 출력
for a in range(1, n+1):
    for b in range(1, n+1):
        # 도달할 수 없는 경우, 무한이라고 출력
        if graph[a][b] == INF:
            print("INFINITY", end=" ")
        # 도달할 수 있는 경우, 거리를 출력
        else:
            print(graph[a][b], end=" ")
    print()

 

실전 문제1. 미래 도시

- 방문 판매원이 1번 회사에서 출발하여 K번 회사를 방문한 뒤에 X번 회사로 가는 최소 시간 구하기

   연결된 2개의 회사는 양방향으로 이동 가능

- 이 문제는 전형적인 플로이드 워셜 알고리즘 문제이다.

- 1번 노드~X~K로 가는 최단 거리 = (1번 노드~X 최단거리) + (X~K 최단거리)

# 최단 경로 알고리즘
# 실전 문제1. 미래 도시

INF = int(1e9) # 무한

n, m = map(int, input().split())
graph = [[INF] * (n+1) for _ in range(n+1)] # 2차원 리스트 만들고 무한으로 초기화

# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n+1):
    for b in range(1, n+1):
        if a == b:
            graph[a][b] = 0

# 각 간선에 대한 정보를 입력받고, 서로에게 가는 비용을 1로 설정
for _ in range(m):
    a, b = map(int, input().split())
    graph[a][b] = 1
    graph[b][a] = 1

x, k = map(int, input().split())

# 플로이즘 워셜 알고리즘 수행
for k in range(1, n+1):
    for a in range(1, n+1):
        for b in range(1, n+1):
            graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])

dist = graph[1][k] + graph[k][x]

if dist >= INF:
    print("-1")
else:
    print(dist)

 

 

실전 문제2. 전보

- X에서 Y로의 통로가 설치되어 있다면 메시지 전송 가능

- 메시지 보낼 때는 일정 시간 소요됨

- 메시지는 도시 C에서 출발하여 각 도시 사이에 설치된 통로를 거쳐 최대한 많이 퍼져나갈 것이다.

- C에서 보낸 메시지를 받게 되는 도시의 총 개수와 도시들이 모두 메시지를 받는 데까지 걸리는 시간 계산

- 입력) 첫째 줄에 도시의 개수 N, 통로의 개수 M, 메시지를 보내고자 하는 도시 C

            둘째 ~ M+1 줄에 통로에 대한 정보 X, Y, Z (X->Y 시간 C)

- 출력) 도시의 총 개수와 총 시간 

# 최단 경로 알고리즘
# 실전 문제2. 전보

import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9)

n, m, c = map(int, input().split())

graph = [[] for i in range(n+1)]
distance = [INF] * (n+1)

for _ in range(m):
    x, y, z = map(int, input().split())
    graph[x].append((y, z))

def dijkstra(c):
    q = []
    # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여 큐에 삽입
    heapq.heappush(q, (0, c))
    distance[c] = 0
    while q: # 큐가 비어있지 않다면
        # 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        dist, now = heapq.heappop(q)
        # 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
        if distance[now] < dist:
            continue
        # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]
            # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))

# 다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(c)

count = 0
max_dist = 0

for d in distance:
    if d != INF:
        count += 1
        max_dist = max(max_dist, d)

print(count-1, max_dist)